[통계] 확률변수, 확률분포

확률 Probability

확률이란 어떤 일이 일어날 가능성의 측도입니다.

확률은 A 사건(event)이 일어나는 경우의 수와 나올 수 있는 모든 경우의 비율이라고 할 수 있습니다.
통계적 실험을 했을 때 나올 수 있는 모든 경우의 수를 표본 공간 sample space라고 부릅니다.

어떤 사건 A의 확률 = (A 사건이 일어나는 경우의 수) / (나올 수 있는 모든 경우 [표본 공간])

예를 들어, 동전을 던졌을 때 얼굴이 나오는 확률은 나올 수 있는 경우 숫자면, 얼굴면 2가지 경우에서 하나이기 때문에 1/2 = 0.5 = 50%의 확률입니다.

 

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확률 변수 Random Variable

 

결과를 예측할 수 없는 무작위 (random) 실험에서 나타날 수 있는 결과를 수치로 표현한 값입니다.

주로 대문자 알파벳으로 표현합니다 e.g. X, Y

출처: Wikipedia/random_variable

확률변수는 이산 확률 변수와 연속 확률 변수로 구분할 수 있습니다.

 

• 이산 확률 변수 Discrete Random Variable

확률변수가 갖는 값을 셀 수 있을 때 그 변수를 이산 확률변수라고 합니다

e.g. 동전의 앞, 뒤 = 2가지의 경우, 주사위 던지고 나오는 윗면 = 6가지의 경우, 영화관 관객수,

동전의 앞면이 나올 변수를 X라고 한다면,* X(앞,앞) = 2* X(앞, 뒤) = 1* X(뒤, 앞) = 1* X(뒤, 뒤) = 0

 

• 연속 확률 변수 Continuous Random Variable

어떤 구간 안에 모든 실숫값을 가진 변수

e.g. 사람의 몸무게나 키, 마라톤 뛰는데 걸리는 시간, 0에서 1 사이의 숫자

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확률 분포 Probability Distribution

확률 변수의 모든 값과 그 값의 확률을 나타내는 함수를 의미한다.

 

밑 그래프는 두 주사위를 던져서 나오는 합과 그 합이 나올 수 있는 확률을 나타내고 있다. 두 개의 주사위를 던졌을 때 합이 2가 나오는 경우는 1/36이다. 

출처: 위키피디아

 

• 확률분포 함수 Probability Distribution Function
  확률 변수를 표현한 함수
  
  
  
• 확률 질량 함수 Probability Mass Function
  이산 확률 변수의 분포를 나타내는 함수
  

  

  출처: 위키백과 주사위 던져 나오는 값에 대한 pmf

  
  동전의 앞면이 나올 변수를 X라고 한다면,
  * X(앞, 뒤) = 1
  * X(뒤, 뒤) = 0
  * X(뒤, 앞) = 1
  * X(앞,앞) = 2
  
  pmf:
  P(X=0) => 1/4
  P(X=1) => 1/2
  P(X=2) => 1/4
  
  
• 확률 밀도 함수 Probability Density Function
  연속 확률 변수의 분포를 나타내는 함수
  

  

  

  출처: 위키백과 Probability Density Function

  
  
  
  
• 누적 분포 함수 Cumulative Distribution Function
  주어진 확률 변수가 특정 값보다 작거나 같은 확률을 나타내는 함수
  
  예) 동전을 두 개 던졌을 때 얼굴면이 나오는 경우의 누적 분포 함수 (CDF)

출처: https://www.probabilitycourse.com

예) 정규분포의 확률분포 함수 pdf (왼쪽)와  누적 분포 함수 cdf (오른쪽)

대한민국의 여성 평균키가 163에 위와 같은 분포를 따른다고 했을 때 P(X <173cm)를 위와 같이 표시할 수 있습니다. 

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확률분포 종류

이산 확률 분포: 이산 확률 변수가 가지는 확률 분포

출처: KDnuggets

• 이항 분포 Binomial Distribution
  두 가지 경우의 수 중 어떤 것이 나오는지 확인하는 것
  예) 동전 던지기 (나올 수 있는 경우가 2개이다)
  
  
• 다항 분포 Multinomial Distribution
  여러 개의 값을 가질 수 있는 독립 확률변수에 대한 확률 분포
  예) 주사위 던지기 (나올 수 있는 경우가 6가지이다)
  
  
• 포아송 분포 Poisson Distribution
  어떤 기간 안에 어떤 사건이 몇 번 발생할 것인지 표현하는 이산 확률분포
  예) 10시간 동안 물고기를 5마리 잡을 확률

연속 확률 분포: 연속 확률 변수가 가지는 확률 분포

• 정규분포 Normal Distribution
  평균값을 중앙으로 하여 좌우 대칭인 분포 (가우스 분포라고도 불림)
  예) 신생아 무게
  
  
• 감마 분포 Gamma Distribution
  특정 수의 사건이 일어날 때까지 걸리는 시간에 대한 분포
  
  
• t 분포
  정규분포보다 꼬리가 더 긴 분포 (더 넓은 예측 범위를 사용한다)

(이미지 출처: KDnuggets)